小升初《约数与倍数》问题分析解答2

已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少？且证明你的结论。

考点：约数与倍数。

分析：先设自然数n的所有正约数分别为x1，x2，x3，x4，…，xm.然后根据题意列出式子化简求解。

解答：解：正约数的倒数和为2.

设其正约数依次为：x1，x2，x3，x4，…，xm．

其中x1=1，xm=n，则x1+x2+x3+…+xm=2n，

∴

1/x1+ 1/x2+ 1/x3+…+ 1/xm-1+ 1/xm，

=（ 1/x1+ 1/xm）+（ 1/x2+ 1/xm-1）+…+（ 1/xi+ 1/xm+1-i），

= x1+xm/x1·xm+ x2+xm-1/x2·xm-1+…+ xm+1-i+xi/xi·xm+1-i，