解决牛吃草问题的多种算法

历史起源：英国数学家牛顿(16421727)说过：在学习科学的时候，题目比规则还有用些因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。

主要类型：

1、求时间

2、求头数

除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用牛吃草问题的解题思想解决实际问题的能力。

基本思路：

①在求出每天新生长的草量和原有草量后，已知头数求时间时，我们用原有草量每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)求出天数。

②已知天数求只数时，同样需要先求出每天新生长的草量和原有草量。

③根据(原有草量+若干天里新生草量)天数，求出只数。

基本公式：

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶

(1)草的生长速度=对应的牛头数吃的较多天数-相应的牛头数吃的较少天数(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数吃的天数-草的生长速度吃的天数;`

(3)吃的天数=原有草量(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度

第一种：一般解法

有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。

一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：

(1)27头牛6天所吃的牧草为：276=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)

(2)23头牛9天所吃的牧草为：239=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)

(3)1天新长的草为：(207-162)(9-6)=15

(4)牧场上原有的草为：276-156=72

(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72(21-15)=726=12(天)

所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

第二种：公式解法

有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草?(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛?

解答：

1) 草的生长速度：(218-246)(8-6)=12(份)

原有草量：218-128=72(份)

16头牛可吃：72(16-12)=18(天)

2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数

所以最多只能放12头牛。